中１　空間図形

空間図形（立体）の基礎

1. 空間にある立体 (Solid Geometry)

立体とは、長さ、幅、高さの3つの次元を持つ図形のことである。

• 多面体: すべての面が平面である立体。角柱、角錐などがある。

• 曲面を持つ立体: 円柱、円錐、球など、一部または全部の面が曲面である立体。

立体の主な構成要素は以下の通りである。

• 面: 立体を形作る平面または曲面。

• 辺: 面と面が交わってできる線分。

• 頂点: 辺と辺が交わってできる点。

2. 空間にある図形と位置関係の調べ方

空間内での点、直線、平面の位置関係を理解することは、立体を把握する上で重要である。

空間内の2直線の位置関係

1. 交わる: 1点で交わる。

2. 平行: どこまで伸ばしても交わらない。

3. ねじれの位置: 平行でなく、交わらない関係。（平面図形にはない、空間図形特有の関係である）

直線と平面の位置関係

1. 交わる: 1点で交わる。このとき、直線が平面に対して垂直に交わる場合（$\perp$）、その直線は平面上のすべての直線と垂直になる。

2. 含まれる: 直線が平面上にある。

3. 平行: 直線と平面が交わらない。

2つの平面の位置関係

1. 交わる: 1本の直線（交線）で交わる。

2. 平行: どこまで広げても交わらない。

立体のいろいろな見方

立体を平面（紙の上など）で表現したり、内部の構造を理解したりするための見方を学ぶ。

1. 投影図（とうえいず）

立体を真正面と真上から見て平面上に表した図のことである。

• 立面図: 正面から見た図。立体の高さがわかる。

• 平面図: 真上から見た図。立体の奥行きや幅がわかる。

投影図は、立体の形を正確に伝えるために、建築や工業デザインなどで広く用いられる。

2. 展開図（てんかいず）

立体をその辺で切り開いて、すべての面を一つの平面上に広げた図である。

• 展開図を理解することで、立体の表面積を求めることができる。

• 展開図を組み立てて、元の立体に戻したとき、展開図で対応する辺（のりしろになる辺）の長さは必ず等しい。

立体の表面積と体積

1. 柱体と錐体 (Prisms and Pyramids)

• 柱体（角柱・円柱）: 2つの合同で平行な底面を持ち、側面が長方形や曲面で構成される立体。

• 錐体（角錐・円錐）: 1つの底面と、その周りの側面が1点（頂点）で集まってできる立体。

表面積 (Surface Area: S)

立体すべての面の面積の合計。展開図の面積に等しい。

体積 (Volume: V)

立体が占める空間の大きさ。

• 柱体の体積:

• 錐体の体積:

2. 球 (Sphere)

半径rの球に関する公式は次の通りである。

• 球の表面積 (S):

• 球の体積 (V):

図形の性質の利用

1. 多角形の内角と外角

• n角形の内角の和:

• 多角形の外角の和は、常に360°である。

2. 平行線と角

2つの平行な直線に、1本の直線（横断線）が交わるとき、できる角には次の関係がある。

• 同位角 (どういかく): 位置が同じ角。平行線の場合、同位角は等しい。

• 錯角 (さっかく): Z字型や逆N字型に見える角。平行線の場合、錯角は等しい。

3. 三角形の合同

2つの三角形の形と大きさが完全に同じであること（ぴったり重ね合わせられること）を合同といい、記号≡を用いて表す（例: △ABC≡△DEF）。

三角形の合同条件は次の3つである。

1. 3組の辺がそれぞれ等しい。

2. 2組の辺とその間の角がそれぞれ等しい。

3. 1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい。