中１　比例・反比例

関数の基礎：量の変化を捉える

1. 量の変化と関数 (Change in Quantities and Functions)

関数とは、2つの変数 xと y があり、xの値がただ一つ決まると、それに伴って yの値もただ一つ決まるときに、「y は x の関数である」という。

• 変数: さまざまな値をとる文字（x や y）

• 変域: 変数がとる値の範囲。

2. 比例 (Direct Proportion)

y が x の関数であり、その関係が次の式で表されるとき、「y は x に比例する」という。

• a は比例定数: a は0ではない定まった数であり、比例の関係において変化しない値を指す。

比例の特徴

1. グラフ: 比例のグラフは、原点 (0, 0) を通る直線になる。

2. 変化の割合: x の値が1増えるとき、y の値は常に比例定数 a だけ増減する。

比例定数の求め方

比例の関係が成り立っているとき、比例定数 a は次のように計算できる。

反比例 (Inverse Proportion)

y が xの関数であり、その関係が次の式で表されるとき、「y は x に反比例する」という。

• a は比例定数: ここでも a は0ではない定まった数であり、反比例の関係においても変化しない値を指す。

反比例の特徴

1. グラフ: 反比例のグラフは、双曲線と呼ばれる曲線になり、原点を通らない。また、x 軸、 y 軸とは交わらない。（この2軸を漸近線という）

2. 変化の仕方: xの値が2倍、3倍、...になると、yの値は 1/2倍、 1/3倍、...になる。

比例定数の求め方

反比例の関係が成り立っているとき、比例定数 a は次のように計算できる。

関数の利用 (Application of Functions)

関数、特に比例や反比例の関係は、日常生活や物理現象を表現するのに利用される。

1. 数量の関係を式で表す

文章問題で数量の関係を読み取り、それが比例か反比例かを見極めて式で表現する。

• 比例　　1個98円の品物をx個買ったときの代金 y

• 反比例　　

８kmの道のりを時速xkmで進んだときにかかる時間 y

2. グラフの利用

グラフは、2つの量の変化の関係を視覚的に把握するのに役立つ。

• 直線のグラフ（比例）: 増加または減少の傾向が一定であることがわかる。例えば、一定の速さで移動する物体の「距離と時間」の関係など。

• 双曲線のグラフ（反比例）: 一方が増えると、もう一方が急激に減っていく関係がわかる。例えば、長方形の「縦の長さと横の長さ」の関係（面積が一定のとき）など。

3. 解の吟味

関数を利用した応用問題では、求めた解が変域や問題の状況に合っているか確認する（解の吟味）ことが重要である。

• 例: 時間や距離を表す変数は負の値をとらない、など。